δυναμική

(Φυσ.). Η μελέτη της κίνησης των σωμάτων σε συσχετισμό με τις δυνάμεις που επενεργούν σε αυτά ή που ασκούν πίεση σε αυτά. Η δ. είναι ο κλάδος της μηχανικής που μελετά τις κινήσεις των σωμάτων σε σχέση με τα αίτια που τις προκαλούν. Διαφέρει από την κινηματική, η οποία μελετά τις κινήσεις ανεξάρτητα από τα αίτιά τους. Η σημασία της δ. έγκειται στο γεγονός ότι η γνώση των νόμων της επιτρέπει τον προσδιορισμό της κίνησης ενός σώματος σε συνάρτηση με τον χρόνο, όταν είναι γνωστές οι εξωτερικές δράσεις που ενεργούν πάνω σε αυτό. Οι δράσεις αυτές εμφανίζονται γενικά στο σώμα με τη μορφή δυνάμεων. Οι κινήσεις κάθε πραγματικού σώματος μπορούν να μελετηθούν από διάφορες απόψεις: α) να θεωρήσουμε το σώμα ως τελείως ακίνητο και να μελετήσουμε μόνο τις κινήσεις μεταφοράς και περιστροφής· β) να θεωρήσουμε επιπλέον, ή μόνο, τις πιθανές παραμορφώσεις, οπότε έχουμε τη δ. των ελαστικών σωμάτων και τη δ. των ρευστών. Η επίλυση των διαφόρων προβλημάτων της δ. μπορεί να απλοποιηθεί με την εισαγωγή της έννοιας του υλικού σημείου, δηλαδή ενός γεωμετρικού σημείου όπου συγκεντρώνεται η ύλη που αποτελεί το σώμα. Πρακτικά, ως υλικό σημείο μπορεί να θεωρηθεί κάθε σώμα του οποίου οι διαστάσεις είναι αμελητέες ως προς το μήκος της τροχιάς του· έτσι υλικό σημείο θεωρείται η Γη κατά την κίνησή της γύρω από τον Ήλιο ή ένα διαστημόπλοιο κατά την κίνησή του γύρω από τη Γη. Τα θεμελιώδη αξιώματα της δ. έχουν διατυπωθεί με βάση την έννοια του υλικού σημείου. H κλασική διατύπωση των αξιωμάτων προέρχεται από τον Νεύτωνα και είναι: 1o αξίωμα αξίωμα της αδράνειας (το οποίο εντόπισε ο Λεονάρντο ντα Βίντσι και διατύπωσε πρώτος ο Γαλιλαίος). «Κάθε σώμα διατηρεί την κατάσταση ηρεμίας του ή της ευθύγραμμης ομαλής κίνησής του, εκτός αν υποχρεωθεί να τις μεταβάλει υπό την επίδραση εξωτερικής δύναμης». 2o αξίωμα (το οποίο ανακάλυψε ουσιαστικά ο Γαλιλαίος). «H επιτάχυνση (η μεταβολή της κινητικής κατάστασης) ενός δεδομένου σώματος είναι ανάλογη προς τη δρώσα κινητήρια δύναμη και έχει την ίδια διεύθυνση και φορά προς τη δύναμη αυτή». Στην πραγματικότητα, το πρώτο αξίωμα είναι συνέπεια του δεύτερου: αν δεν δρα καμία δύναμη δεν προκαλείται αλλαγή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων, συνεπώς το αποτέλεσμα είναι είτε ηρεμία είτε ευθύγραμμη ομαλή κίνηση. Αν σε ένα σώμα δρουν ταυτόχρονα πολλές δυνάμεις, αυτές συμπεριφέρονται σύμφωνα με το ίδιο αξίωμα, ενώ και οι επιταχύνσεις, που οφείλονται σε καθεμία από τις δυνάμεις, συμπεριφέρονται ανάλογα. 3ο αξίωμα (αξίωμα δράσης και αντίδρασης, που διατυπώθηκε από τον Νεύτωνα). «Σε κάθε δράση αντιστοιχεί πάντα μια ίση και αντίθετη αντίδραση. Έτσι οι δράσεις δύο σωμάτων, του ενός πάνω στο άλλο, είναι πάντα ίσες και αντίθετες». Τα θεμελιώδη αυτά αξιώματα βασίζονται στην παραδοχή ότι η μέτρηση των χρονικών διαστημάτων και των μηκών είναι απόλυτη, οποιοδήποτε και αν είναι το σύστημα αναφοράς στο οποίο γίνεται η μέτρηση. Πράγματι, ο Νεύτων όρισε ότι: α) «Ο απόλυτος αληθής και μαθηματικός χρόνος ρέει ομοιόμορφα, χωρίς να επηρεάζεται από κανένα εξωτερικό φαινόμενο, και ονομάζεται, αλλιώς, διάρκεια». β) «Το απόλυτο διάστημα δεν έχει από τη φύση του καμία σχέση προς οποιοδήποτε εξωτερικό φαινόμενο και παραμένει πάντοτε ακίνητο και όμοιο προς τον εαυτό του». Τα αξιώματα αυτά είναι θεμελιώδη για τη νευτώνεια δ., αλλά όχι για τη δ. του Αϊνστάιν. Ένα βασικό ζήτημα για τη δ. είναι αν οι νόμοι της εξαρτώνται από την κινητική κατάσταση του συστήματος αναφοράς με το οποίο είναι συνδεδεμένος o παρατηρητής. Για την περίπτωση αυτή ισχύει το αξίωμα της σχετικότητας του Γαλιλαίου: οι νόμοι της δ. που θα προκύψουν από τα πειράματα δύο παρατηρητών οι οποίοι έχουν σχετική, ευθύγραμμη και ομαλή κίνηση, θα συμπίπτουν. Έτσι αν, για παράδειγμα, μελετήσουμε τον τρόπο πτώσης ενός σώματος, τις ταλαντώσεις ενός εκκρεμούς ή μιας χορδής κλπ., μέσα σε ένα τρένο που κινείται ευθύγραμμα και ομαλά, θα προκύψουν τα ίδια αποτελέσματα με τη μελέτη που θα γινόταν στο έδαφος (με την προϋπόθεση ότι όλες οι άλλες συνθήκες του πειράματος θα παραμείνουν αμετάβλητες). Η επέκταση αυτού του νόμου για το αμετάβλητο των νόμων της δ. σε όλα τα φυσικά φαινόμενα αποτελεί το αξίωμα της σχετικότητας του Αϊνστάιν και συνιστά τη βάση της θεωρίας της σχετικότητας. Παραδείγματα, γνωστά σε όλους, τα οποία επαληθεύουν το αξίωμα της αδράνειας, είναι η ώθησή μας προς τα πίσω όταν βρισκόμαστε σε όχημα που ξεκινά απότομα ή η ώθηση προς τα εμπρός αν το όχημα σταματάει απότομα. Στην πρώτη περίπτωση το σώμα μας τείνει να διατηρήσει την ηρεμία του· στη δεύτερη τείνει να διατηρήσει την κινητική του κατάσταση. Το δεύτερo αξίωμα της δ. συνεπάγεται ότι o λόγος της εφαρμοζόμενης δύναμης προς την προσδιοριζόμενη επιτάχυνση είναι σταθερός για ένα δεδομένο σώμα. Συνεπώς, όσο μεγαλύτερη είναι η χαρακτηριστική αυτή σταθερά του σώματος τόσο μικρότερη είναι η επιτάχυνση που προσδίδεται για εφαρμοζόμενες δυνάμεις που έχουν ίσες τιμές. Η σταθερά αυτή αναπαριστά το μέτρο της αδράνειας που προβάλλει η ύλη όταν οι δράσεις τείνουν να μεταβάλλουν την ηρεμία της ή την κινητική της κατάσταση. Η σταθερά αυτή, χαρακτηριστική για κάθε σώμα, είναι η μάζα του ορισμένου σώματος ή ακριβέστερα η αδρανειακή μάζα του. Συνεπώς, μαθηματικά το δεύτερo αξίωμα της δ. εκφράζεται με την εξής θεμελιώδη σχέση: (1) όπου η κινητήρια δύναμη που εφαρμόζεται στο υλικό σημείο μάζας m, το οποίο, από τη δράση της δύναμης, αποκτά επιτάχυνση , ανάλογη συνεπώς προς την . Γενικότερη της (1) είναι η σχέση όπου λαμβάνεται υπόψη όχι η μεταβολή της ταχύτητας σε συνάρτηση με τον χρόνο (δηλαδή η επιτάχυνση), αλλά η μεταβολή του γινομένου , που αποτελεί την ορμή της μάζας m. Έχουμε τότε: (2) όπου είναι η μεταβολή του m σε ένα ελάχιστο χρονικό διάστημα Δt. Αν η m είναι σταθερή, η (1) και η (2) είναι ισοδύναμες· αν όμως η m μεταβάλλεται με τον χρόνο (π.χ. πύραυλος κατά την προωστική φάση) ή με την ταχύτητα, ισχύει μόνο η (2). Κατά τις έρευνές του για την πτώση των σωμάτων, που έγιναν στην Πίζα (1589-91), ο Γαλιλαίος διενήργησε κλασικά πειράματα, αφήνοντας να πέσουν από τον πύργο της Πίζα διάφορα σώματα. Για να αποφύγει κάθε διαταραχή που θα οφειλόταν στη διαφορετική τριβή του αέρα εξαιτίας του σχήματος των σωμάτων, o Γαλιλαίος χρησιμοποίησε σφαίρες που είχαν το ίδιο σχήμα και διαστάσεις, αλλά διαφορετική μάζα. Η αντίσταση του αέρα ήταν η ίδια για κάθε σφαίρα και συνεπώς ήταν δυνατόν να παραλειφθεί. Όπως προέκυψε από τα αποτελέσματα των πειραμάτων του Γαλιλαίου, αν παραλειφθεί η αντίσταση του αέρα, όλα τα σώματα που αφήνονται να πέσουν από το ίδιο ύψος φτάνουν στο έδαφος την ίδια ακριβώς στιγμή. Συνεπώς, η επιτάχυνση που οφείλεται στην έλξη της βαρύτητας είναι ίση για όλα τα σώματα, όποια και αν είναι η μάζα τους. Αν συνδυάσουμε το θεμελιώδες αυτό αποτέλεσμα της δ. του Γαλιλαίου με το δεύτερο αξίωμα της δ., που καθορίζει τη σχέση μεταξύ της εφαρμοζόμενης δύναμης, της αδρανειακής μάζας και της επιτάχυνσης, , έπεται ότι η δύναμη της βαρύτητας είναι ανάλογη προς την αδρανειακή μάζα του σώματος Ρ = mg. Το αποτέλεσμα αυτό έχει μεγάλη σημασία, γιατί οδηγεί στο συμπέρασμα ότι η μάζα ενός σώματος όταν αυτό υπόκειται στην έλξη της βαρύτητας και η αδρανειακή μάζα που προκύπτει από τον δεύτερο νόμο της δ. συμπίπτουν. Πειράματα πολύ πιο ακριβή και περίπλοκα (Έετβες, Ντίκε) επιβεβαίωσαν αυτή την ισότητα με ακρίβεια ένα προς μερικά δισεκατομμύρια. Το γεγονός αυτό, που στην κλασική δ. δεν είναι αναγκαία συνέπεια της θεωρίας, αλλά πρέπει να θεωρηθεί ως ζητούμενο που καθορίζεται από το πείραμα, αποτελεί τη βάση της θεωρίας της σχετικότητας του Αϊνστάιν, η οποία παρουσιάζει μια σύνθεση των νόμων της δ. και της παγκόσμιας έλξης. Η κατανόηση του τρίτου αξιώματος είναι απλή, όταν η δύναμη που ασκείται από ένα σώμα Α πάνω στο Β δεν προκαλεί κίνηση και συνεπώς έχουμε στατική ισορροπία. Αλλά στατική ισορροπία έχουμε μόνο όταν υπάρχουν δεσμοί που είναι αντίθετοι στην κίνηση. Αν, αντίθετα, δύο σώματα που επιδρούν το ένα πάνω στο άλλο είναι ελεύθερα να κινηθούν (π.χ. όταν έλκονται μεταξύ τους από ένα τεντωμένο ελατήριο), διαπιστώνεται ότι οι δυνάμεις που καθορίζουν την κίνησή τους είναι ίσες και αντίθετες. Πράγματι, επαληθεύεται ότι οι επιταχύνσεις τους είναι αντιστρόφως ανάλογες προς τις μάζες τους, αλλά διευθύνονται κατά αντίθετη φορά. Από τη δεύτερη αρχή έχουμε: , . Ωστόσο, οι επιταχύνσεις είναι αντιστρόφως ανάλογες προς τις μάζες, οπότε: , και συνεπώς . Μία σημαντική περίπτωση εφαρμογής της τρίτης αρχής είναι η κίνηση ενός πυραύλου στο κενό. Η κίνηση αυτή οφείλεται στη δύναμη αντίδρασης που αντιστοιχεί στη δύναμη των αερίων της καύσης, η οποία προκαλείται από την εκτόξευση. Το όχημα δέχεται την ώθησή του όχι επειδή τα αέρια που εξέρχονται στηρίζονται επάνω στον αέρα, αλλά γιατί στην ώθηση που δέχονται τα αέρια καύσης στον θάλαμο καύσης αντιστοιχεί μια αντίδραση ίσης έντασης και αντίθετης φοράς, η οποία εφαρμόζεται στα τοιχώματα του θαλάμου. Συνάγεται, λοιπόν, ότι το σημείο εφαρμογής της προωθητικής ώσης βρίσκεται στον πυθμένα του θαλάμου καύσης και όχι στο ακροφύσιο εξόδου. Για την περιγραφή της πυραυ λικής προώθησης είναι ιδιαίτερα χρήσιμο να εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της ορμής (ταχύτητας ενός σώματος επί τη μάζα του), η οποία είναι άμεση συνέπεια του τρίτου αξιώματος της δ. Σύμφωνα με αυτή την αρχή, η ορμή του πυραύλου είναι ίση και αντίθετη με την ορμή των αερίων που εκτοξεύει. Επειδή η μάζα των αερίων που εκτοξεύονται είναι συνήθως μικρή σε σχέση με τη μάζα του οχήματος, είναι αναγκαίο τα αέρια να αποκτούν τόσο υψηλή ταχύτητα ώστε το γινόμενο της μάζας επί την ταχύτητα (η ορμή) να είναι τέτοιο που να επιτρέπει στο όχημα να επιτύχει την επιθυμητή ταχύτητα. Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι το μόνο όχημα που μπορεί να κινηθεί στο κενό με μόνη προϋπόθεση την ύπαρξη του αναγκαίου καυσίμου είναι ο πύραυλος, του οποίου η κίνηση εμποδίζεται μάλιστα από την παρουσία του αέρα. δ.ομοιότητα.Οι διαστάσεις όλων των δυναμικών μεγεθών (ταχύτητα, επιτάχυνση, δύναμη κλπ.) μπορούν να εκφραστούν μονοσήμαντα ως συναρτήσεις των θεμελιωδών διαστάσεων της μάζας (Μ), του μήκους (L) και του χρόνου (Τ). Ορισμένοι συνδυασμοί των δυναμικών μεγεθών δημιουργούν αδιάστατους αριθμούς. Δύο συστήματα σε κίνηση έχουν δ. ομοιότητα όταν για ίσες τιμές κάποιου αδιάστατου συνδυασμού των δυναμικών μεγεθών διέρχονται από όμοιους γεωμετρικούς σχηματισμούς. Κατά την κίνηση των ρευστών δύο συστήματα παρουσιάζουν δ. ομοιότητα όταν οι συνοριακές περιοχές των σωμάτων και τα αντίστοιχα χαρακτηριστικά της ροής είναι γεωμετρικά όμοια, οπότε οι αδιάστατοι συνδυασμοί αποτελούνται από έναν ή περισσότερους από τους αδιάστατους αριθμούς Ρέινολντς, Φρόιντ ή Μαχ. Στην υδροδυναμική και στην αεροδυναμική η αρχή της ομοιότητας χρησιμοποιείται εκτεταμένα στον υπολογισμό της επίδρασης της ροής σε ένα σύστημα, με την παρατήρηση της επίδρασης όμοιας ροής πάνω σε ένα μοντέλο υπό κλίμακα. δ.ροή.Ομαλή ροή υγρού, κατά την οποία κάθε μικρός όγκος παραμορφώνεται και μετακινείται από σημείο σε σημείο μέσα στο διανυσματικό πεδίο ροής, χωρίς να περιστρέφεται. Τότε η ταχύτητα ροής  μπορεί να συσχετιστεί με ένα δυναμικό ταχύτητας φ, ακριβώς όπως το g στη βαρύτητα μπορεί να συσχετιστεί με το δυναμικό βαρύτητας V. Αν σχεδιαστούν επιφάνειες σταθερού δυναμικού ταχύτητας, το  μπορεί να βρεθεί από τις ισοδυναμικές επιφάνειες ροής, όπως ακριβώς βρίσκεται το g από τις ισοδυναμικές επιφάνειες βαρύτητας. Το πεδίο λοιπόν δ. ροής είναι ανάλογο προς ένα συντηρητικό πεδίο δυνάμεων. Η δ. ροή μπορεί να παρατηρηθεί υπό ορισμένες συνθήκες μόνο σε ένα ιδανικό υγρό (που δεν έχει τριβές), ενώ στα πραγματικά υγρά και αέρια πραγματοποιείται σε περιοχές όπου οι δυνάμεις που εξασκούνται στα μόρια εξαιτίας του ιξώδους είναι αμελητέες σε σχέση με την ένταση της πίεσης, ενώ δεν υπάρχουν και στρόβιλοι. δ. του στερεού σώματος. Η κίνηση ενός στερεού σώματος που δεν υπόκειται σε σύνδεσμο μπορεί πάντα να αναχθεί στην κίνηση του κέντρου βάρους του, στο οποίο θεωρείται ότι συγκεντρώνεται όλη η μάζα του σώματος, και στην κίνηση γύρω από τον εαυτό του, που είναι ισοδύναμη προς μία στιγμιαία περιστροφή γύρω από τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο βάρους του. Εάν λείπει η δεύτερη συνιστώσα, η κίνηση του στερεού σώματος περιγράφεται πλήρως από την κίνηση του κέντρου βάρους του. Για την κίνηση αυτή ισχύουν οι νόμοι που ισχύουν για τη δ. του υλικού σημείου. Στην περίπτωση κατά την οποία, εκτός από την κίνηση μετατόπισης του κέντρου βάρους ενός σώματος, έχουμε και περιστροφή γύρω από τον άξονά του, πρέπει να εισάγουμε τις έννοιες της ροπής αδράνειας, της γωνιακής επιτάχυνσης και της ροπής των εξωτερικών δυνάμεων που δρουν στο σύστημα, για όλα τα σημεία του σώματος που δεν βρίσκονται σε κάθε στιγμή στον άξονα περιστροφής. Με την έννοια της γωνιακής ταχύτητας συνδέεται η έννοια της γωνιακής επιτάχυνσης, η οποία εκφράζει τις μεταβολές της γωνιακής ταχύτητας στη μονάδα του χρόνου. Εάν εφαρμόσουμε μια δύναμη σε ένα τυχαίο σημείο που δεν βρίσκεται στον άξονα, θα προκαλέσουμε μια κίνηση περιστροφής γύρω από αυτό τον άξονα. Η προσδιδόμενη γωνιακή επιτάχυνση προκύπτει τόσο μεγαλύτερη όσο πιο μακριά από τον άξονα βρίσκεται το σημείο εφαρμογής της δύναμης. Αυτό μας επιτρέπει να συμπεράνουμε ότι το μέγεθος της γωνιακής επιτάχυνσης δεν εξαρτάται μόνο από το μέτρο της δύναμης αλλά και από την απόσταση του σημείου εφαρμογής από τον άξονα. Ακριβέστερα, η γωνιακή επιτάχυνση είναι ευθέως ανάλογη του γινομένου της δύναμης επί την απόσταση μεταξύ του σημείου εφαρμογής και του άξονα. Η μελέτη της κίνησης ενός υλικού σημείου που συνδέεται άκαμπτα με ένα σημείο επιτρέπει να καθορίσουμε πώς εκφράζονται οι θεμελιώδεις νόμοι της δ. στην περίπτωση της περιστροφικής κίνησης. Είναι γνωστό ότι αν σε μία μάζα εφαρμοστεί μία δύναμη , η επιτάχυνση θα είναι τέτοια ώστε: . Αν τώρα υποθέσουμε ότι η μάζα συνδέεται στερεά με ένα σημείο που βρίσκεται σε απόσταση r από αυτήν, θα έχουμε μία κυκλική κίνηση όπου η γωνιακή επιτάχυνση είναι ανάλογη προς τη ροπή της δύναμης Μ = Fr. Επειδή η γωνιακή επιτάχυνση είναι (δηλαδή γ = rγ) έχουμε Fr = mr · γr και συνεπώς Μ = mr2γ, όπου mr2 η αδράνεια με την οποία η μάζα ανθίσταται στην κυκλική κίνηση. Ο συντελεστής αυτός ονομάζεται ροπή αδράνειας. Η ροπή αδράνειας ενός σώματος το οποίο στρέφεται είναι το άθροισμα όλων των όρων mr2 που αναφέρονται στις μάζες των υλικών σημείων που αποτελούν το σώμα και συμβολίζεται με I. Για ένα τυχαίο σώμα που περιστρέφεται γύρω από ένα σημείο –ο τροχός στην περίπτωση που θεωρήσαμε– ο θεμελιώδης νόμος της δ. προκύπτει: Μ = Ιγ Από τον ορισμό της ροπής αδράνειας είναι προφανές ότι, με σταθερή μάζα, η ροπή αδράνειας είναι τόσο μεγαλύτερη όσο μεγαλύτερη είναι η απόσταση της ορισμένης μάζας από τον άξονα περιστροφής. Για παράδειγμα, μεταξύ δύο τροχών με ίση μάζα, μεγαλύτερη ροπή αδράνειας έχει ο τροχός με τη μεγαλύτερη ακτίνα. Η ροπή αδράνειας θα αυξηθεί ακόμα αν το μεγαλύτερο μέρος της μάζας κατανεμηθεί κατά μήκος της εξωτερικής περιφέρειας του τροχού. Το γεγονός αυτό βρίσκει πρακτική εφαρμογή στον σφόνδυλο. Πρόκειται για μία απλή συσκευή, με έναν τροχό με σχετικά μεγάλη ακτίνα και σημαντική μάζα, η οποία είναι τοποθετημένη, κατά το μεγαλύτερο μέρος της, στην παχιά περιφέρεια του τροχού. Έτσι η ροπή αδράνειας είναι αρκετά υψηλή. Επειδή όσο μεγαλύτερη είναι η ροπή αδράνειας τόσο μεγαλύτερη γίνεται η αντίσταση που προβάλλει το σώμα στις μεταβολές της γωνιακής ταχύτητας, είναι προφανής η χρησιμότητα του σφονδύλου στις περιπτώσεις που καθίσταται αναγκαίο να διατηρηθεί, όσο είναι δυνατόν, σταθερή η γωνιακή ταχύτητα του περιστρεφόμενου οργάνου. Εάν λάβουμε υπόψη μας την αναλογία που υπάρχει μεταξύ ροπής και δύναμης, γωνιακής επιτάχυνσης και ροπής αδράνειας της περιστροφικής κίνησης, με τη δύναμη, την επιτάχυνση και τη μάζα της μεταφορικής κίνησης, θα δούμε ότι, εάν αντικαταστήσουμε τα τρία πρώτα μεγέθη με τα δεύτερα, οι θεμελιώδεις νόμοι της δ. για ένα περιστρεφόμενο σώμα θα προκύψουν τελείως ανάλογοι με εκείνους που ισχύουν για το σημείο. Στην ορμή της μεταφορικής κίνησης αντιστοιχεί (στην περιστροφική κίνηση) η στροφορμή, που ορίζεται ως η ροπή αδράνειας η οποία πολλαπλασιάζεται επί τη γωνιακή ταχύτητα. Οι προηγούμενοι συλλογισμοί μπορούν να γενικευτούν για οποιοδήποτε στερεό σώμα το οποίο περιστρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο βάρους του· με τη μόνη διαφορά ότι, επειδή δεν υπάρχει σταθερός άξονας, ο ιδεατός άξονας γύρω από τον οποίο γίνεται η περιστροφή μπορεί να αλλάζει από στιγμή σε στιγμή και συνεπώς να μεταβάλλονται η γωνιακή ταχύτητα και η επιτάχυνση, η ροπή της εφαρμοζόμενης δύναμης, η ροπή αδράνειας και η στροφορμή. Τέτοιες συνεχείς μεταβολές καθιστούν πολύ δύσκολη στην πράξη την πλήρη περιγραφή της κίνησης ενός σώματος γύρω από το κέντρο του βάρους του. Για να διατηρηθεί κατά το δυνατόν σταθερή η γωνιακή ταχύτητα ενός περιστρεφόμενου οργάνου, πρέπει να αυξηθεί η ροπή αδράνειάς του, π.χ. μέσω ενός σφονδύλου. Στη φωτογραφία, σφόνδυλος μιας αερομηχανής του 19ου αι. (Γερμανικό Μουσείο Επιστημών και Τεχνών, Μόναχο· φωτ. Nat). Η πρόωση των πυραύλων καθορίζεται από την αντίδραση προς την έξοδο των αερίων. Στο σχήμα 1 το φορείο επί του οριζόντιου επιπέδου είναι παράδειγμα του πρώτου αξιώματος της δυναμικής, εφόσον θεωρούνται αμελητέες οι τριβές: οι δυνάμεις που δρουν επί του φορείου, δηλαδή το βάρος και η αντίδραση του επιπέδου, ισορροπούν, και το φορείο μένει σε ηρεμία, εφόσον δεν παρεμβαίνουν άλλες αιτίες. Στο σχήμα 2 το διάγραμμα εικονίζει το δεύτερο αξίωμα της δυναμικής: διά κεκλιμένων επιπέδων διαφόρων κλίσεων είναι δυνατόν να επιτύχουμε δυνάμεις διαφόρων εντάσεων (συνιστώσες του βάρους παράλληλες προς το κεκλιμένο επίπεδο) οι οποίες δρουν στο ίδιο φορείο. Το σχήμα 3 εικονίζει την τρίτη αρχή της δυναμικής: οι δύο μάζες επιδρούν η μία επί της άλλης διά του ελατηρίου και από τη μέτρηση των επιταχύνσεων προκύπτει ότι  και συνεπώς ότι οι δυνάμεις είναι ίσες κατά απόλυτη τιμή και αντίθετης φοράς. 0ι δυνάμεις που ασκούνται από τα άλογα (μαύρα βέλη) προστίθενται και παράγουν μία συνισταμένη (κόκκινο βέλος) που μπορεί να προσδιοριστεί με τον κανόνα του παραλληλόγραμμου, όπως παριστάνεται γραφικώς στο σχήμα.

* * *

η

βλ. δυναμικός.